Задача 1.

Пренебрежем вкладом барионов в плотность энергии во Вселенной (это - неплохое приближение с учетом $\Omega_B \simeq 0,05$, $\Omega_D \simeq 0,25$). Рассмотрим моду неоднородности темной материи, входящую под горизонт на РД-стадии. На РД-стадии она равна $$ \delta_D(t) = \delta_{\times} \ln\frac{a(t)}{a_{\times}}, $$ где $a_{\times}$ - значение масштабного фактора при входе под горизонт. Найти значение этой моды на МД-стадии, точнее, коэффициент $D$ в выражении $$ \delta_D = D \cdot \frac{a}{a_{eq}}, $$ где $eq$ обозначает, как всегда, равенство плотностей энергии радиации и (темной) материи. Указание: учесть, что в уравнении для $\delta_D$ фигурирует, в качестве $\rho$, ее собственная плотность энергии $\rho_D$. Перейти к переменной $y = \frac{a}{a_{eq}}$ в уравнении для $\delta_D$ вместо времени $t$. Учесть, что одно из решений получившегося уравнения - это комбинация $\alpha + \beta y$, где $\alpha$ и $\beta$ - константы (найдите их).