Задача 3.

Рассмотрим фиктивное 5-мерное пространство Минковского $M^5$ $$ ds^2 = (dy^0)^2 - (dy^1)^2 - (dy^2)^2 - (dy^3)^2 - (dy^4)^2. $$ Вложим в него гиперболоид \begin{equation} \label{hyperb} (y^1)^2 +(y^2)^2 + (y^3)^2 + (y^4)^2 - (y^0)^2 = \frac{1}{H_{\Lambda}^2} = const. \end{equation} Метрика на нем индуцирована из $M^5$. Введем на гиперболоиде координаты $t, \vec x$: \begin{gather*} y^0 = \frac{1}{H_{\Lambda}} sh( H_{\Lambda} t) +\frac{H_{\Lambda}}{2}\: {\vec x}^2\: e^{H_{\Lambda}t} ,\\ y^i = x^i \:e^{H_{\Lambda}t}, \quad i = 1,2,3, \\ y^4 = \frac{1}{H_{\Lambda}} ch( H_{\Lambda} t) - \frac{H_{\Lambda}}{2}\: {\vec x}^2\: e^{H_{\Lambda}t}. \end{gather*} 1) Убедиться, что при этом выполнено уравнение гаперболоида. Какую часть гиперболоида покрывают координаты $t, \vec{x}$? 2) Доказать, что в координатах $t, \vec{x}$ метрика гиперболоида совпадает с метрикой де Ситтера. Является ли область гиперболоида, покрываемая координатами $t, \vec{x}$, геодезически полной?