Задача 16.

Докажите, что 1) любое целое число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел. 2) каждое целое число $x$, большее 1, можно представить в виде \begin{equation*} x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_n^{a_n}, \end{equation*} причём $p_1< p_2< \ldots< p_n$ — простые числа, $a_1, a_2,\ldots, a_n$ — положительные целые числа. 3*) (Основная теорема арифметики) если число $x$ представлено двумя способами в таком виде, а точнее \begin{equation*} x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_n^{a_n}= q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_m^{b_m}, \end{equation*} то эти разложения совпадают, то есть $m=n$, и при любом $1\leqslant i\leqslant n$ $p_i=q_i$, $a_i=b_i$. 4) если в этом разложении все $a_i$ четны, то $x$ есть точный квадрат, то есть найдется такое целое $y$, что $x=y^2$.