Соглашение. Все числа в этом листке предполагаются целыми.

∆ Определение 1. Целое число $a$ делится на ненулевое целое число $b$, если существует такое целое число $k$, что $a=kb$. В этом случае $b$ называется делителем $a$. Говорят, также, что $b$ делит $a$. Обозначение: $a⋮ b$ или $b \mid a$.

Задача 1. Докажите, что для любого $a$ 1) если $a\ne 0$, то $a⋮ a$; 2)  $a⋮ 1$; 3) если $a\ne0$, то $0⋮ a$. Отправить решение

Задача 2. Докажите, что для любых $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ 1) если $b \mid a$ и $c\mid b$, то $c\mid a$; 2) если $a⋮ b$ и $a\ne0$, то $|a|\geqslant|b|$; 3) если $c\ne0$, то $a⋮ b\Longleftrightarrow ac⋮ bc$; 4) если $a⋮ b$ и $c⋮ b$, то $(a\pm c)⋮ b$; 5) если $a⋮ b$ и $c⋮ b$, то $ax+cy ⋮ b$; 6) если $a⋮ b$ и $b⋮ a$, то $a=b$ или $a=-b$; 7) если $a⋮ b$, то $ac⋮ b$; 8) если $a⋮ b$ и $b \nmid c$, то $b \nmid (a+c)$; 9) если $ab=cd$ и $a⋮ c$, то $d⋮ b$. Отправить решение

Задача 3. Верно ли, что для любых $a$, $b$, $c$, $d$: 1) если $b\mid a$ и $c\not\mid b$, то $c\mid a$; 2) если $b\mid a$ и $c\mid a$, то $bc\mid a$; 3) если $c\mid ab$, то $c\mid a\text{ или }c\mid b$? Отправить решение

Задача 4. Сформулируйте признаки делимости на 1) 2, 2) 3, 3) 4, 4) 5, 5) 9, 6) 11. Отправить решение

Задача 5. Может ли число, сумма цифр которого равна $2004$, быть полным квадратом? Отправить решение

Задача 6. * Число $a$ в три раза больше суммы своих цифр. Докажите, что число $a$ делится на $27$. Отправить решение

Задача 7. Докажите, что 1) если $a^2 ⋮ (a+b)$, то $b^2 ⋮ (a+b)$; 2*) если $x+y+z\ne0$, то $(x^3+y^3+z^3-3xyz) ⋮ (x+y+z)$. Отправить решение

Задача 8. У каких чисел количество положительных делителей нечётно? Отправить решение

∆ Определение 2. Число $p>1$ называется простым, когда оно делится лишь на $1$, $-1$, $p$ и $-p$. Остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными.

Задача 9. Докажите, что простых чисел бесконечно много. Отправить решение

Задача 10. Докажите, что для любого $n$ найдутся $n$ подряд идущих составных чисел. Отправить решение

Задача 11. * Обозначим через $n?$ произведение всех простых чисел, меньших $n$. Докажите, что при $n>3$ выполняется неравенство $n?>n$. Отправить решение

Задача 12. 1) Найдите все простые $p$ такие, что $p+2$ и $p+4$ также простые. 2*) Докажите, что существует бесконечно много таких простых чисел $p$, что число $p+2$ также простое. Отправить решение

Задача 13. (решето Эратосфена) На доске написаны все числа от $2$ до $1000$. Эратосфен обводит число $2$ в кружочек и стирает все числа, отличные от $2$, которые делятся на $2$. Затем он повторяет этот процесс, а именно обводит в кружочек наименьшее необведенное число и стирает все остальные числа, которые делятся на это число. Процесс заканчивается, когда на доске остаются только обведённые числа. Какие числа останутся на доске? (Их не нужно выписывать) Отправить решение

Задача 14. Выпишите все простые числа, меньшие $100$. Отправить решение

Задача 15. Докажите, что число $a$ — составное, если и только если $a$ делится на какое-нибудь простое число, не превосходящее $\sqrt{a}$. Отправить решение

Задача 16. Докажите, что 1) любое целое число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел. 2) каждое целое число $x$, большее 1, можно представить в виде \begin{equation*} x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_n^{a_n}, \end{equation*} причём $p_1< p_2< \ldots< p_n$ — простые числа, $a_1, a_2,\ldots, a_n$ — положительные целые числа. 3*) (Основная теорема арифметики) если число $x$ представлено двумя способами в таком виде, а точнее \begin{equation*} x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_n^{a_n}= q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_m^{b_m}, \end{equation*} то эти разложения совпадают, то есть $m=n$, и при любом $1\leqslant i\leqslant n$ $p_i=q_i$, $a_i=b_i$. 4) если в этом разложении все $a_i$ четны, то $x$ есть точный квадрат, то есть найдется такое целое $y$, что $x=y^2$. Отправить решение

Задача 17. Разложите на простые множители числа $1024$, $57$, $84$, $91$, $391$, $101$, $1000$, $1001$, $1543$. Отправить решение