Задача 3.

Определим интеграл по фермионной переменной $\Psi$, $\bar{\Psi}$ следующим образом $$ \int d\Psi d\bar{\Psi} = \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \Psi = \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \bar{\Psi} =0 $$ $$ \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \bar{\Psi} \Psi = 1. $$ Кроме того, будем считать, что переменные $d\Psi, d\bar{\Psi}, \Psi, \bar{\Psi}$ антикоммутируют между собой. В частности, $\Psi \cdot \Psi = 0$. Показать, что с точностью до численного множителя $$ \int \prod_i (d\Psi_i d\bar{\Psi}_i) \: e^{-\bar{\Psi}_i M_{ij} \Psi_j + \bar{\alpha}_i \Psi_i + \bar{\Psi}_i \alpha_i} = e^{\bar{\alpha}_i M_{ij}^{-1} \alpha_j} \cdot \det M, $$ где все $d\Psi_i, d\bar{\Psi}_i, \Psi_i, \bar{\Psi}_i$ антикоммутируют между собой, $\alpha_i$, $\bar{\alpha}_i$ - параметры, которые антикоммутируют как между собой, так и с $\Psi_i, \bar{\Psi}_i$; $M$ - невырожденная матрица, $i,j = 1,\dots, N$. Указание: а) Показать сначала, что фермионный интеграл инвариантен относительно сдвига $\Psi_i \rightarrow \Psi_i + C_i$, где $C_i$ - антикоммутирующий параметр. б) Убедиться, что $$ \int d\Psi_N \dots d\Psi_1 d\bar{\Psi}_N \dots d\bar{\Psi}_1 \bar{\Psi}_{i_1}\dots \bar{\Psi}_{i_N} \Psi_{j_1} \dots \Psi_{j_N} = \varepsilon_{i_1 \dots i_N} \;\varepsilon_{j_1 \dots j_N}. $$