Задача 1. Доказать, что с точностью до числового множителя $$ \int \prod_i dx_i \; e^{-\frac12 x_i M_{ij} x_j} = (\det M)^{-1/2} $$ (суммирование по $i, j$ подразумевается), где $M_{ij}$ - симметричная матрица со всеми положительными собственными значениями. Отправить решение
Задача 2. Вычислить интеграл $$ \int \prod_i (dx_i dx_i^*)\: e^{-x_i^* M_{ij} x_j + \alpha_i^* x_i + x_i^* \alpha_i}, $$ где $M_{ij}$ - эрмитова матрица, $\alpha_i$ - комплексные параметры, а интегрирование по комплексной переменной $x_i$ выглядит как $$ \int dx_i dx_i^* F(x, x^*) = \int d(Re\: x) d(Im\: x) F(x, x^*). $$ Отправить решение
Задача 3. Определим интеграл по фермионной переменной $\Psi$, $\bar{\Psi}$ следующим образом $$ \int d\Psi d\bar{\Psi} = \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \Psi = \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \bar{\Psi} =0 $$ $$ \int d\Psi d\bar{\Psi} \cdot \bar{\Psi} \Psi = 1. $$ Кроме того, будем считать, что переменные $d\Psi, d\bar{\Psi}, \Psi, \bar{\Psi}$ антикоммутируют между собой. В частности, $\Psi \cdot \Psi = 0$. Показать, что с точностью до численного множителя $$ \int \prod_i (d\Psi_i d\bar{\Psi}_i) \: e^{-\bar{\Psi}_i M_{ij} \Psi_j + \bar{\alpha}_i \Psi_i + \bar{\Psi}_i \alpha_i} = e^{\bar{\alpha}_i M_{ij}^{-1} \alpha_j} \cdot \det M, $$ где все $d\Psi_i, d\bar{\Psi}_i, \Psi_i, \bar{\Psi}_i$ антикоммутируют между собой, $\alpha_i$, $\bar{\alpha}_i$ - параметры, которые антикоммутируют как между собой, так и с $\Psi_i, \bar{\Psi}_i$; $M$ - невырожденная матрица, $i,j = 1,\dots, N$. Указание: а) Показать сначала, что фермионный интеграл инвариантен относительно сдвига $\Psi_i \rightarrow \Psi_i + C_i$, где $C_i$ - антикоммутирующий параметр. б) Убедиться, что $$ \int d\Psi_N \dots d\Psi_1 d\bar{\Psi}_N \dots d\bar{\Psi}_1 \bar{\Psi}_{i_1}\dots \bar{\Psi}_{i_N} \Psi_{j_1} \dots \Psi_{j_N} = \varepsilon_{i_1 \dots i_N} \;\varepsilon_{j_1 \dots j_N}. $$ Отправить решение