Задача 1. Рассмотрим калибровочную функцию $$ \omega(\vec{x}) = e^{-i \tau^a n^a f(r)} = \cos (f(r)) - i \tau^a n^a \sin(f(r)), $$ где $n^a = \frac{x^a}{r}$. Требование $\omega(\vec{x}) \rightarrow 1$ при $r \rightarrow \infty$ дает $f(\infty) = 0$. Требование гладкости при $r \rightarrow 0$ дает $f(0) = -\pi N$. Показать прямым вычислением, что $n[\omega] = N$ - целое число намоток $S^3$ на $SU(2)=S^3$. Отправить решение
Задача 2. Показать, что $n[\omega]$ не меняется при гладких деформациях $\omega(\vec{x})$, таких, что $\omega(|\vec{x}| \rightarrow \infty) = 1$. Отправить решение
Задача 3. Проверить, что в 4-мерной теории Янга-Миллса $$ Tr(F_{\mu\nu}\tilde{F}_{\mu\nu}) = \partial_{\mu}K_{\mu}, $$ где $$ K_{\mu} = \epsilon_{\mu\nu\lambda\rho} Tr(F_{\nu\lambda} A_{\rho} - \frac23 A_{\nu} A_{\lambda} A_{\rho}). $$ Отправить решение