Сводка формул в pdf (к эпизодам 4.1, 4.2 в Лекции 4). Иллюстрации

Задача 1. Найти расстояние углового размера $r_A(z)$ в пространственно-плоской Вселенной без $\Lambda$-члена, $\Omega_k = \Omega_{\Lambda} = 0, \: \Omega_M = 1$. При каком $z$ оно максимально? Отправить решение

Задача 2. Убедиться, что если корреляционная функция имеет бамп, $$ G(|\vec{x}|) = G_{smooth}(|\vec{x}|) + const\cdot e^{-\frac{(|\vec{x}| - l_{BAO})^2}{2\sigma ^2}} $$ и $\sigma \ll l_{BAO}$, то спектр мощности имеет осциллирующую компоненту $$ P(k) = P_{smooth}(k) + \frac{const}{k}\, \sin(kl_{BAO}). $$ Отправить решение

Задача 3. Вычислить размер звукового горизонта эпохи рекомбинации $l_S(t_r)$ с учетом вклада радиации в плотность энергии во Вселенной и отличия скорости звука в фотон-протонной среде от $1/\sqrt{3}$. Указание: cчитать известной температуру рекомбинации $T_r = 0,26\, \mbox{эВ}$, что соответствует $z_r = 1100$. Считать $\Omega_M = 0,31$ . Отправить решение

Задача 4. Найти относительное изменение углового размера акустического горизонта эпохи рекомбинации в открытой модели с $\Omega_M = 0,3, \: \Omega_{\Lambda} = 0,69, \: \Omega_k = 0,01$ по сравнению с плоской моделью с $\Omega_M = 0,3, \: \Omega_{\Lambda} = 0,7, \: \Omega_k = 0$. Отправить решение

Задача 5. Волновое уравнение в расширяющейся Вселенной Рассмотрим теорию безмассового действительного скалярного поля с действием $$S = \int~d^4x~\sqrt{-g} \;\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi$$ на фоне пространственно-плоской однородной изотропной метрики расширяющейся Вселенной. Мы уже знаем (см. Задачу 4.2 к лекции I), что решение соответствующего волнового уравнения представляет собой набор плоских волн $$\phi(\vec{x}, \eta) = \int~d^3k ~\mbox{e}^{i\vec{k} \vec{x}} \phi_k(\eta) \; ,$$ где $\vec{k}$ -- координатный (конформный) импульс, не зависящий от времени (а физический импульс $\vec{q} = \vec{k}/a(\eta)$ убывает -- краснеет -- с течением времени). Мы также знаем (см. Задачу 4.2 к лекции I), что при $k/a \gg H$ решение имеет ВКБ-форму. (1) Убедиться, что в радиационно-доминированной Вселенной сначала выполнено неравенство $k/a \ll H$ (физическая длина волны $2\pi/q$ больше размера горизонта -- режим ``за горизонтом''), а затем для не слишком длинноволновых решений наступает ВКБ-режим $k/a \gg H$ (длина волны меньше размера горизонта -- режим ``под горизонтом''). (2) Показать, что в радиационно-доминированной Вселенной в режиме под горизонтом $k/a \ll H$ одно решение несингулярно, а другое сингулярно в прошлом, $\eta \to 0$. Найти поведение несингулярного решения в режиме под горизонтом. (3) При каких зависимостях масштабного фактора от времени свойства (1) и (2) имеют место, а при каких -- нет? Какие при этом уравнения состояния материи, заполняющей Вселенную? (4) Решить уравнение поля в радиационно-доминированной Вселенной, считая, что поле несингулярно при $\eta \to 0$. Убедиться, что это решение описывает стоячую волну (учесть, что поле действительное!). При каких современных длинах волн значение поля максимально в эпоху рекомбинации? Волны плотности барион-фотонной среды до рекомбинации (акустические волны) имеют свойства, аналогичные (1), (2), (4). Одной (но не единственной) из существенных особенностей является отличие скорости звука от скороти света. Отправить решение