Задача 5.

Волновое уравнение в расширяющейся Вселенной Рассмотрим теорию безмассового действительного скалярного поля с действием $$S = \int~d^4x~\sqrt{-g} \;\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi$$ на фоне пространственно-плоской однородной изотропной метрики расширяющейся Вселенной. Мы уже знаем (см. Задачу 4.2 к лекции I), что решение соответствующего волнового уравнения представляет собой набор плоских волн $$\phi(\vec{x}, \eta) = \int~d^3k ~\mbox{e}^{i\vec{k} \vec{x}} \phi_k(\eta) \; ,$$ где $\vec{k}$ -- координатный (конформный) импульс, не зависящий от времени (а физический импульс $\vec{q} = \vec{k}/a(\eta)$ убывает -- краснеет -- с течением времени). Мы также знаем (см. Задачу 4.2 к лекции I), что при $k/a \gg H$ решение имеет ВКБ-форму. (1) Убедиться, что в радиационно-доминированной Вселенной сначала выполнено неравенство $k/a \ll H$ (физическая длина волны $2\pi/q$ больше размера горизонта -- режим ``за горизонтом''), а затем для не слишком длинноволновых решений наступает ВКБ-режим $k/a \gg H$ (длина волны меньше размера горизонта -- режим ``под горизонтом''). (2) Показать, что в радиационно-доминированной Вселенной в режиме под горизонтом $k/a \ll H$ одно решение несингулярно, а другое сингулярно в прошлом, $\eta \to 0$. Найти поведение несингулярного решения в режиме под горизонтом. (3) При каких зависимостях масштабного фактора от времени свойства (1) и (2) имеют место, а при каких -- нет? Какие при этом уравнения состояния материи, заполняющей Вселенную? (4) Решить уравнение поля в радиационно-доминированной Вселенной, считая, что поле несингулярно при $\eta \to 0$. Убедиться, что это решение описывает стоячую волну (учесть, что поле действительное!). При каких современных длинах волн значение поля максимально в эпоху рекомбинации? Волны плотности барион-фотонной среды до рекомбинации (акустические волны) имеют свойства, аналогичные (1), (2), (4). Одной (но не единственной) из существенных особенностей является отличие скорости звука от скороти света.