Ковариантное сохранение энергии и уравнение состояния

Ковариантное сохранение энергии и уравнение состояния

Сводка формул (к эпизодам 1 и 2 в Лекции 2).


Задача 1. Показать, что равенство $\nabla_{\mu} T_{\nu}^{\mu} = 0$ выполняется тривиально при $\nu = i$. Отправить решение


Задача 2. Показать, что $(ij)$-компонента уравнений Эйнштейна удовлетворяется автоматически, если выполнены уравнение Фридмана $$ \frac{\dot{a}^2}{a^2} = \frac{8\pi}{3} G \rho - \frac{\varkappa}{a^2} $$ и ковариантное сохранение энергии $$ \dot{\rho} = -3 \frac{\dot{a}}{a} (\rho + p). $$ Отправить решение


Задача 3. Найти уравнение состояния в теории скалярного поля (газ Чаплыгина) с действием $$ S = -V_0 \int d^4x \sqrt{- g}\sqrt{1 - g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\varphi\partial_{\nu}\varphi}. $$ Считать, что $V_0 > 0$, а поле $\varphi$ -- однородно, т.е. зависит только от времени, $\varphi = \varphi (t)$. Отправить решение