Задача 1. (а) Решить точно уравнение для однородного массивного скалярного поля с минимальной связью на РД-стадии. Убедиться, что если начальное условие наложено при $t_i \ll m^{-1}$ и имеет вид $\phi = \phi_{(i)}$, $\dot{\phi} = \dot{\phi}_{(i)}$, то решение сначала релаксирует к $\phi = const$, а при $t_i \gg m^{-1}$ осциллирует как $$ \phi = \frac{A}{a^{3/2}(t)} \cos(mt + \varphi). $$ Указание: считать, что $\dot{\phi}_{(i)} \ll \phi_{(i)}/t_i$ (иначе говоря, держать $\phi_{(i)}$, $\dot{\phi}_{(i)})$ фиксированными и устремить $t_i$ к нулю). Найти связь амплитуды $A$ с $\phi_{(i)}$ и фазу $\varphi$. (б) Решить ту же задачу для МД-стадии. Отправить решение
Задача 2. Пусть $m = m(t)$ -- медленно меняющаяся функция. Показать, что величина $n(t)a^3(t)$ не зависит от времени в ВКБ-режиме $H \ll m$, $\dot{m} \ll m^2$. Здесь $$ n(t) = \frac{\rho(t)}{m(t)}. $$ Указание: найти сначала решение в ВКБ-режиме. Отправить решение
Задача 3. Найти точное соотношение между $n(t)$ и $\phi_i$ для случая $m = const$ считая, что равенство $m = H(t_m)$ наступает на РД-стадии. Отправить решение