Задача 1. Верно ли, что для любого $n > 1$ выполняется 1) $6 \nmid n^3 + 5n$; 2) $2n^3 + 3n^2 + 7n ⋮ 6$; 3) $n^5 - n ⋮ 30$; 4) $2^{2n} - 1 ⋮ 6$; 5) $11^{6n + 3} + 1 ⋮ 148$? Отправить решение

Задача 2. Дайте определение   1) НОД   2) НОК чисел $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ ($n > 2$). Отправить решение

Задача 3. Докажите, что для любых $a$, $b$ и $c$ , таких, что $a\cdot b\cdot c\ne0$, выполняется 1)   $НОД(a,b,c) = НОД(a,НОД(b,c)) = НОД(НОД(a,b),c)$; 2)   $НОК(a,b,c) = \frac{|abc|\cdotНОД(a,b,c)}{НОД(a,b)\cdotНОД(b,c)\cdotНОД(a,c)}$. Отправить решение

Задача 4. Существует ли число, которое при делении на числа $2$, $3$, $4$, $5$ и $6$ даёт в остатке соответственно   1) $1$, $2$, $3$, $4$, $5$;    2) $0$, $1$, $2$, $3$, $4$;    3) $0$, $1$, $2$, $3$, $2$? Отправить решение

Задача 5. Вычислите НОД чисел 1) $923$ и $1207$;   2) $279$ и $-589$;   3) $-693$ и $2475$; 4) $-697$ и $-1377;$ 5) $1517$ и $1591$;   6) $1134$, $2268$ и $1575$. Отправить решение

Задача 6. Вычислите НОК чисел 1) $16$ и $84$;   2) $819$ и $504$;   3) $30$, $56$ и $72$;   4) $340$, $990$ и $46$; 5) $41$, $85$ и $36$;   6) $2,5,7,9$ и $11$. Отправить решение

Задача 7. Для $n>0$ найдите значения следующих выражений: 1) $1\cdot2 + 2\cdot3 + \ldots + (n-1)\cdot{n}$; 2) $\frac{1}{4\cdot5} + \frac{1}{5\cdot6} + \ldots + \frac{1}{(n+3)(n+4)}$; 3*) $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + \ldots + n\cdot(n+1)\cdot(n+2)$. Отправить решение

Задача 8. Докажите тождества: 1) $(n+1)\cdot(n+2)\cdot\ldots\cdot(n+n) = 2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n - 1)$; 2) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n}$; 3) $(1 - \frac{1}{4})\cdot(1 - \frac{1}{9})\cdot \ldots \cdot(1 - \frac{1}{(n+1)^2}) = \frac{n + 2}{2n + 2}$. Отправить решение

Задача 9. Решите в целых числах уравнения 1) $7x + 5y = 1$;   2) $27x - 24y = 1$;   3) $12x - 33y = 9$; 4) $-56x + 91y = 21$;   5) $344x - 215y = 86$;   6) $3x + 5y +7z = 1$. Отправить решение

Задача 10. Верно ли, что для любого $n$ числа $10n+7$ и $10n+5$ взаимно просты? Отправить решение

Задача 11. Найдите такие числа $a$ и $b$, что $ax + by = 1$ при 1) $x=7 , y=9$;   2) $x=17 , y=19$;   3) $x=27 , y=29$;   4) $x=37 , y=39$; 5) $x=47 , y=49$.   Отправить решение

Задача 12. Определим последовательность чисел $u(n)$ по правилу: $u(0)=0,   u(1)=1,    u(n)=u(n-1) + u(n-2)$  (числа Фибоначчи). 1) Докажите, что $u(1) + \ldots + u(n) = u(n+2) - 1$. 2) Докажите, что $(u(1))^2 + \ldots + (u(n))^2 = u(n)\cdot{u(n+1)}$. 3) (Ф-ла Бине) Как, на Ваш взгяд, связаны числа $u(n)$ и $\delta(n)= \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$? Отправить решение