Множество – одно из основных неопределяемых понятий в математике. Задать множество – значит определить, из каких элементов оно состоит. Один из способов задать множество – просто перечислить в фигурных скобках его элементы. "Элемент $x$ принадлежит множеству $M$" записывают как "$x\in M$", "элемент $x$ не принадлежит множеству $M$" записывают как "$x\notin M$".

Задача 1. Сколько элементов в множестве 1) $\{1\}$, $\{1,2,3\}$, $\{\text{Вася}\}$; 2) $\{\{1\}\}$; 3) $\{1, \{2, 3\}\}$; 4) букв слова "крокодил"; 5) имён учеников вашего класса? Отправить решение

∆ Определение 1. Множества $A$ и $B$ называются равными, если каждый элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, а каждый элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$. Обозначение: $A=B$.

∆ Определение 2. Множество $A$ называется подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$. Обозначение: $A\subset B$. Подмножество множества $A$ можно определить, задав свойство, которым обладают все его элементы: ${\{x \in A \mid x \text{ обладает свойством ...} \}}$

Задача 2. 1) Пусть $A$ — множество однозначных натуральных чисел. Запишите указанным в определении 2 способом его подмножество $\{ 2, 4, 6, 8\}$. 2) Пусть $A$ — множество городов России. Перечислите элементы его подмножества $\{x\in A\mid \text{число жителей города $x$ на 1 января 2003 года более $1\,000\,000$ человек}\}$. Отправить решение

Задача 3. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого: \begin{equation*} \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\},  \{\{1\},2,3\}, \{\{1,2\},3\},  \{3,2,1\}, \{\{2,1\}\}. \end{equation*} Отправить решение

Задача 4. Докажите, что множество $A$ тогда и только тогда является подмножеством множества $B$, когда каждый элемент, не принадлежащий $B$, не принадлежит $A$. Отправить решение

Задача 5. Докажите, что для произвольных множеств $A$, $B$ и $C$ 1) $A\subset A$; 2) $A\subset B$ и $B\subset C\Rightarrow A\subset C$; 3) $A=B\Leftrightarrow A\subset B$ и $B\subset A$. Отправить решение

∆ Определение 3. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: $\varnothing$.

Задача 6. 1) Докажите, что пустое множество является подмножеством любого множества. 2) Докажите, что пустое множество единственно. Отправить решение

Задача 7. Сколько элементов у каждого из следующих множеств: \begin{equation*} \varnothing,  \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, \\   \{\{1\},2,3\}, \{\{1,2\},3\},  \{\varnothing\}, \{\{2,1\}\}? \end{equation*} Отправить решение

Задача 8. 1) Для множеств из предыдущей задачи выпишите все их подмножества. 2) Сколько подмножеств у множества из одного элемента? из двух элементов? трёх элементов? Отправить решение

Задача 9. Верно ли, что множество летающих крокодилов является подмножеством множества велосипедистов города Амстердам? Верно ли, что множество велосипедистов Амстердама является подмножеством множества городов Голландии? Отправить решение

Задача 10. Может ли у множества быть ровно 1) 0; 2) 7; 3) 16 подмножеств? Отправить решение

∆ Определение 4. Объединением множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из таких $x$, что $x\in A$ или $x\in B$. Обозначение: $A\cup B$. Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из таких $x$, что $x∈A$ и $x∈B$. Обозначение: $A∩B$. Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех таких $x$, что $x ∈ A$ и $x \notin B$. Обозначение: $A \setminus B$.

Задача 11. Пусть даны множества $A=\{1,3,7,137\}$, $B=\{3,7,23\}$, $C=\{0,1,3,23\}$, $D=\{0,7,23,2004\}$. Найдите множества: 1) $A\cup B;$   2) $A\cap B$;   3) $(A\cap B)\cup D$;   4) $C\cap (D\cap B)$; 5) $(A\cup B)\cap (C\cup D)$; 6) $(A\cup (B\cap C))\cap D$;   7) $(C\cap A)\cup ((A\cup (C\cap D))\cap B)$; 8) $(A\cup B)\setminus (C\cap D)$;  9) $A\setminus (B\setminus(C\setminus D))$;  10) $((A\setminus (B\cup D))\setminus C)\cup B$. Отправить решение

Задача 12. Пусть $A$ — множество чётных чисел, а $B$ — множество чисел, делящихся на три. Найдите $A \cap B$. Отправить решение

Задача 13. Докажите, что для любых множеств $A$, $B$, $C$ 1) $A\cup B=B\cup A$;  $A\cap B=B\cap A$; 2) $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$;  $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$; 3) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;  $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ 4) $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$;  $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$. Отправить решение

Задача 14. Верно ли, что для любых множеств $A$, $B$, $C$ 1) $A\cap\varnothing=\varnothing$;  $A\cup\varnothing=A$;   2) $A\cup A=A$;  $A\cap A=A$; 3) $A\cap B=A\Leftrightarrow A\subset B$; 4) $(A\setminus B)\cup B=A$;   5) $A\setminus (A\setminus B)=A\cap B$; 6) $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$;   7) $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=A\cup B$? Отправить решение

Задача 15. Внутри фигуры площади 6 расположено три многоугольника площадью не менее 3 каждый. Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее 1. Отправить решение

Задача 16. * Внутри фигуры площади 4 расположено 7 многоугольников площадью не менее 1 каждый. Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее $1/7$. Отправить решение

Задача 17. * Можно ли записать пересечение двух множеств, используя только разность и объединение? Отправить решение

Задача 18. Можно ли записать разность двух множеств, используя только объединение и пересечение? Отправить решение