Задача 1. Убедиться, что майорановский массовый член $M\:N_{\alpha}\:\varepsilon_{\alpha\beta}\: N_{\beta} + h.c.$ инвариантен относительно преобразований Лоренца. Показать, что эквивалентная запись этого члена такова $M\overline{(N^C)}N$, где $N^C$ - зарядово сопряженное поле. Отправить решение
Задача 2. Вывести уравнение Майорана (записанное в терминах двухкомпонентного спинора $N_{\alpha}$) $$ i\tilde{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu} N_{\alpha} + M\: \varepsilon_{\alpha\beta}\: N_{\beta}^+ = 0. $$ Указание: при варьировании лагранжиана по $N^+$ учесть, что требуется вычислять вариацию слева (то есть переносить $\delta N^+$ в $\delta\mathscr{L}$ налево в каждом из получаемых мономов по антикоммутирующим фермионным полям). Отправить решение
Задача 3. Найти все решения свободного уравнения для майорановского фермиона $N$ с ненулевым импульсом. Убедиться, что поле $N$ (и $N^+$) описывает два состояния с массой $M$, одно из которых имеет положительную, а другое - отрицательную спиральность при $\vec{p} \neq 0.$ Показать, что при $E \gg M$ соответствующие волновые функции равны, с точностью до поправок порядка $M/E$, волновым функциям правого антинейтрино и левого нейтрино. Отправить решение
Задача 4. Проверить, что взаимодействие стерильного нейтрино $N$ с левым лептонным дублетом $L$ и полем Энглера-Браута-Хиггса $H$ вида $$ \mathscr{L}_{int} = -y\: \tilde{H}^+ \: L_{\alpha} \:\varepsilon_{\alpha\beta}\: N_{\beta} $$ ($\alpha, \beta = 1, 2$ - лоренцевский индекс) инвариантно относительно всей калибровочной группы $SU(3)_C \times SU(2)_W \times U(1)_Y$ Стандартной модели. Отправить решение
Задача 5. Можно ли получить массовую матрицу обычных нейтрино произвольного вида, если имеются только два типа стерильных нейтрино? А если один тип? Каковы проявления таких моделей в секторе обычных (активных) нейтрино при низких энергиях $E \ll M_i$, где $M_i$ - массы стерильных нейтрино. Отправить решение
Задача 6. Можно ли получить массовую матрицу обычных нейтрино произвольного вида, если имеются только два типа стерильных нейтрино? А если один тип? Каковы проявления таких моделей в секторе обычных (активных) нейтрино при низких энергиях $E \ll M_i$, где $M_i$ - массы стерильных нейтрино. Отправить решение
Задача 7. Убедиться, что в теории, где электронное нейтрино имеет майорановскую массу, возможен процесс $$ n + n \rightarrow p + p + e^- + e^- $$ Замечание: этот процесс приводит к двойному безнейтринному $\beta$-распаду ядер $$ (A,Z) \rightarrow (A, Z+2) + 2e^-. $$ Экспериментальное обнаружение этого процесса стало бы прямым доказательством майорановости масс нейтрино. Отправить решение