Однородные изотропные пространства

Однородные изотропные пространства

Сводка формул


∆ Определение 1. Пространство однородно, если для любой точки $O$ с координатами $x^i_O=(0,0,0)$ в данной системе координат и любой другой точки $O'$ существует система координат $x'$, в которой $x'_{O'}=(0,0,0)$, такая что $\text{dl}^2 = g_{\text{ij}}(x)\text{dx}^i\text{dx}^j=g_{\text{ij}}(x')\text{dx}'^i\text{dx}'^j$, причем $g_{ij}(x')$ — та же функция, что и $g_{ij}(x)$, но для переменных $x'$.


∆ Определение 2. Пространство изотропно, если в каждой точке $g_{\text{ij}}(\text{$\Lambda $x})\Lambda ^i{}_k\text{dx}^k \Lambda ^j{}_l\text{dx}^l= g_{\text{ij}}(x)\text{dx}^i\text{dx}^j$, где $\Lambda$ - произвольная матрица трехмерных поворотов.


Задача 1. Приведите пример однородной, но анизотропной метрики. Отправить решение


Задача 2. Приведите пример изотропной, но неоднородной метрики. Отправить решение


Утверждение. Существует три однородных изотропных трехмерных пространства: 1) 3-мерная плоскость (евклидово трехмерное пространство, $\varkappa = 0$). 2) 3-мерная сфера ($\varkappa =+1$). Если рассматривать сферу вложенной в 4-мерное евклидово пространство, точки принадлежащие ей удовлетворяют уравнению $$ \left(y^1\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(y^3\right)^2+\left(y^4\right)^2=R^2. $$ Метрика индуцируемая таким вложением: $$ \text{dl}^2=\left(\text{dy}^1\right)^2+\left(\text{dy}^2\right)^2+\left(\text{dy}^3\right)^2+\left(\text{dy}^4\right)^2. $$ Внутренняя метрика: $$ y^1=R \cos \chi \\ y^2=R \sin \chi \cos \theta \\ y^3=R \sin \chi \sin \theta \cos \varphi \\ y^4=R \sin \chi \sin \theta \sin \varphi $$ $$ \text{dl}^2=R^2\left(\text{d$\chi $}^2+\sin ^2\chi \left(\text{d$\theta $}^2+\sin ^2\theta \text{d$\varphi $}^2\right)\right). $$ 3) 3-мерный гиперболоид ($\varkappa =-1$). Если рассматривать его вложенным в четырехмерное пространтво Минковского, точки принадлежащие ему, удовлетворяют $$ \left(y^1\right)^2-\left(y^2\right)^2-\left(y^3\right)^2-\left(y^4\right)^2=R^2. $$ Индуцированная метрика при этом: $$ \text{dl}^2=-\left(\text{dy}^1\right)^2+\left(\text{dy}^2\right)^2+\left(\text{dy}^3\right)^2+\left(\text{dy}^4\right)^2. $$ Внутренняя метрика: $$ y^1=R \text{ch} \chi \\ y^2=R \text{sh} \chi \text{cos} \theta \\ y^3=R \text{sh} \chi \text{sin} \theta \text{cos} \varphi \\ y^4=R \text{sh} \chi \text{sin} \theta \text{sin} \varphi $$ $$ \text{dl}^2=R^2\left(\text{d$\chi $}^2+\text{sh}^2\chi \left(\text{d$\theta $}^2+\text{sin}^2\theta \text{d$\varphi $}^2\right)\right). $$


Задача 3. Показать, что перпендикулярный к линии наблюдения отрезок одной и той же длины, находящийся на одном и том же расстоянии от наблюдателя, виден под бОльшим углом на 3-сфере, чем в евклидовом пространстве, и под меньшим углом на 3-гиперболоиде, чем на плоскости. Отправить решение


Задача 4. Покажите, что 3-гиперболоид - однородное изотропное пространство. Отправить решение


Задача 5. Получить прямым вычислением выражение для Тензора Римана: $$^{(3)}R_{ijkl} = {\varkappa}{R^2}(\gamma_{ik}\gamma_{jl} - \gamma_{il}\gamma_{jk}).$$ Отправить решение