∆ Определение 1. Бинарной операцией $*$ на множестве $M$ называется отображение из множества упорядоченных пар $M^2=\{(a, b)\mid a\in M, b\in M\}$ в множество $M$, то есть способ каждой паре элементов множества $M$ поставить в соответствие элемент этого же множества. Образ элемента $(a, b)\in M^2$ обозначается $a* b$.

∆ Определение 2. Пара $(G, *)$, состоящая из множества $G$ и бинарной операции $*$ на нём, называется группой, если выполнены следующие свойства:

• $\forall a, b, c\in G : a* (b* c)=(a* b)* c$  (ассоциативность);
• $\exists e\in G\,\forall a\in G : e* a = a* e = a$  (существование единицы);
• $\forall a\in G\,\exists a^{-1}\in G: a^{-1}* a = a* a^{-1} =e$  (существование обратного).

Задача 1. Запишите кванторами, что значит: 1) операция $*$ на множестве $M$ не ассоциативна; 2) в множестве $M$ не существует единицы; 3) не для всех элементов существует обратный элемент. Отправить решение

Задача 2. Является ли группой 1) $(\mathbb Z, +)$?  2) $(\mathbb Z, -)$?  3) $(\mathbb N, \cdot)$?  4) $(S_n, \cdot)$? 5) Множество чётных чисел с операцией сложения? 6) Множество нечётных чисел с операцией сложения? 7) множество отображений $f\colon X\to X$ с операцией взятия композиции? 8) множество $P(A)$ всех подмножеств множества $A$ с операцией $\cap$? 9) $(P(A), \cup)$?  10) $(P(A), \setminus{} )$?  11) $(P(A), \triangle)$, где $A\triangle B = (A\cup B)\backslash (A \cap B)$? 12) $(\mathbb Z_n, +_n)$, где $\mathbb Z_n=\{0, 1,...,n\}$, $a+_nb$ — остаток от деления числа $a+b$ на число $n$. 13) $(\mathbb Z_n, \cdot_n)$, где $\mathbb Z_n=\{0, 1,...,n\}$, $a\cdot_nb$ — остаток от деления числа $ab$ на число $n$. 14) $(\mathbb N, *)$, где $a* b=a^b$ ?  15) $(\mathbb Z_n\backslash \{0\}, \cdot_n)$ ? 16) $(\mathbb Z_n^*, \cdot_n)$, где $\mathbb Z_n^*=\{a\in \mathbb Z_n\mid НОД (a, n) = 1\}$? Отправить решение

∆ Определение 3. Группа $G$ называется коммутативной (или абелевой ), если для любых $a, b∈G$ выполнено $ab=ba$.

Задача 3. Какие из групп задачи 2 коммутативны? Отправить решение

Задача 4. Докажите, что 1) единица единственна; 2) обратный элемент единственен. 3) $ba=e\Rightarrow b=a^{-1}$. 4) $ba=a\Rightarrow b=e$. 5) $(a^{-1})^{-1}=a$; Отправить решение

Задача 5. * Докажите, что если в определении 2 свойства существования единицы и существования обратного заменить на свойства

• $\exists e\in G\, \forall a\in G: ea=a$;
• $\forall a\, \exists a^{-1}: a^{-1}a=e$,

∆ Определение 4. Отображение $f : G → H$ из группы $G$ в группу $H$ называется изоморфизмом , если оно взаимно однозначно и сохраняет операцию, то есть $ ∀x, y ∈ G f (x ∗ y) = f (x) ∗ f ( y)$. Если такое отображение существует, то группы $G$ и $H$ называются изоморфными .

Задача 6. Выпишите все попарно неизоморфные группы из: 1) 1, 2, 3; 2) 4; 3*) 13 элементов. Отправить решение

∆ Определение 5. Непустое подмножество $H$ группы $(G, *)$, замкнутое относительно операции $*$ и взятия обратного элемента, называется подгруппой.

Задача 7. Верно ли, что: 1) если $H$ — подгруппа $G$, то $e\in H$? 2) если $K$ — подгруппа $H$, а $H$ — подгруппа $G$, то $K$ — подгруппа $G$? 3) объединение двух подгрупп — подгруппа? 4) пересечение двух подгрупп — подгруппа? Отправить решение

Задача 8. Верно ли, что: 1) $\mathbb N$ — подгруппа $\mathbb Z$? 2) $A_n$ — подгруппа $S_n$, где $A_n$ — множество чётных подстановок на множестве из $n$ элементов? 3) $S_n\setminus A_n$ — подгруппа $S_n$? Отправить решение

Задача 9. Перечислите все подгруппы 1) $S_3$; 2) $\mathbb Z$. Отправить решение

∆ Определение 6. Порядком элемента $a$ называется наименьшее натуральное $k$ такое, что для элемента $a\in G$ выполняется равенство $a^k=e$. Обозначение: $\operatorname{ord} a$. Если такого числа не существует, то говорят, что $\operatorname{ord} a = 0$.

Задача 10. Докажите, что в конечной группе $\operatorname{ord} a > 0$ для любого элемента $a$. Отправить решение

Задача 11. Докажите, что $a^n=e$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{ord} a \mid n$. Отправить решение

∆ Определение 7. Левым (правым) смежным классом группы $G$ относительно подгруппы $H$ называется множество вида $aH=\{ax\mid x\in H\}$ (соответственно, вида $Ha=\{xa\mid x\in H\}$).

Задача 12. (теорема Лагранжа) Докажите, что для любой конечной группы $G$ и любой её подгруппы $H$ верно $|G| ⋮ |H|$ ("порядок группы делится на порядок подгруппы"). Отправить решение

Задача 13. Докажите, что порядок конечной группы $G$ делится на порядок каждого её элемента: $|G| ⋮ \operatorname{ord} a$. Отправить решение

Задача 14. Опишите все группы из 1) 5 2) 6 3) 7 4) 12 5) 13 элементов. Отправить решение

∆ Определение 8. Функцией Эйлера натурального числа $n$ называется количество натуральных чисел, не превосходящих $n$ и взаимно простых с ним. Обозначение: $\varphi(n)$.

Задача 15. Докажите, что $\varphi(n)=|\mathbb Z_n^*|$. Отправить решение

Задача 16. Найдите 1) $\varphi(2)$, $\varphi (6)$, $\varphi (30)$; 2) $\varphi (p)$; 3) $\varphi (p^n)$. Отправить решение

Задача 17. Докажите, что для любых взаимно простых чисел $m$ и $n$ выполнено равенство $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$. Отправить решение

Задача 18. Найдите $\varphi(p_1^{k_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{k_n})$. Отправить решение

Задача 19. (теорема Эйлера) Докажите, что для любого числа $a$, взаимно простого с $n$, выполнено равенство $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$. Отправить решение

Задача 20. * Опишите группы симметрий: 1) правильного треугольника; 2) квадрата; 3) правильного $n$-угольника (группа диэдра $D_n$). Отправить решение