Теория групп 2. Гомоморфизмы

Теория групп 2. Гомоморфизмы

∆ Определение 1. Отображение $f\colon G\to H$ группы $(G, *)$ в группу $(H, \circ)$ называется гомоморфизмом, если для любых $a, b\in G$ выполнено равенство $f(a * b) = f(a) \circ f(b)$. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм на себя называется автоморфизмом . Множество всех автоморфизмов группы $G$ обозначается $Aut(G)$. Группы $G$ и $H$ называются изоморфными , если между ними существует изоморфизм. Обозначение: $G≅H$. Неформально говоря, изоморфными называются группы, отличающиеся «переобозначением элементов».


Задача 1. Докажите, что отношение "$G\cong H$" является отношением эквивалентности (формально говоря, это верно на любом множестве групп). Отправить решение


Задача 2. Какие из следующих отображений являются гомоморфизмами? А какие изоморфизмами? 1) $f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z$, $f(n)=2n$;  2) $f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z$, $f(n)=n+1$;  3) $f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z$, $f(n)=n^2$;  4) $f\colon \mathbb Z_p\to \mathbb Z_p$, $f(n)=-n$;  5) $f\colon \mathbb Z_p^*\to \mathbb Z_p^*$, $f(n)=n^{-1}$;  6) $f\colon \mathbb Z_p^*\to \mathbb Z_p^*$, $f(n)=n^{10}$;  7) $f\colon S_n\to S_n$, $f(x)=ax$;  8) $f\colon S_n\to S_n$, $f(x)=x^{-1}$;  9) $f\colon S_n\to S_n$, $f(x)=axa^{-1}$. Отправить решение


Задача 3. Докажите, что для любого гомоморфизма $f\colon G\to H$ 1) $f(e_G)=e_H$; 2) $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$; 3) $f(x^n)=f(x)^n$. Отправить решение


Задача 4. Пусть $G$ — произвольная группа, а $H$ — абелева группа. Введите структуру группы: а) на $Hom(G, H)$, б) на $Aut(G)$. Отправить решение


Задача 5. Найдите все гомоморфизмы 1) $f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z$; 2) $f\colon \mathbb Z\to \mathbb Z_n$; 3) $f\colon \mathbb Z_n\to \mathbb Z_m$. Отправить решение


Задача 6. Докажите, что любая подгруппа группы $\mathbb Z_n$ изоморфна группе вида $\mathbb Z_m$. Отправить решение


Задача 7. * Сколько существует гомоморфизмов a) из группы $\mathbb Z$ в группу $G$ b) из группы $ℤ_p$ в группу $G$? Отправить решение


Задача 8. Какие из следующих групп изоморфны: $\mathbb Z_2$, $\mathbb Z_3^*$, $S_2$, $\mathbb Z_6$, $S_3$, $\mathbb Z_7^*$? Отправить решение


∆ Определение 2. Множество $f(G)$ называется образом гомоморфизма $f\colon G\to H$. Обозначение: $\operatorname{Im} f$. Множество $f^{−1}(e_H)$ называется ядром гомоморфизма $f:G→H$. Обозначение: $\operatorname{Ker} f$.


Задача 9. Найдите ядра и образы всех гомоморфизмов задачи 2. Отправить решение


Задача 10. Докажите, что $\operatorname{Im} f$ и $\operatorname{Ker} f$ — подгруппы в $H$ и $G$ соответственно. Отправить решение


Задача 11. Докажите, что гомоморфизм $f\colon G\to H$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\operatorname{Im} f=H$, $\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$. Отправить решение


Задача 12. Придумайте гомоморфизм из группы $\mathbb Z$, ядром которого является подгруппа чётных чисел. Отправить решение


Задача 13. Придумайте гомоморфизм из группы $S_n$, ядром которого является подгруппа чётных подстановок. Отправить решение


Задача 14. Существует ли гомоморфизм из группы $S_3$, ядром которого является подгруппа $\{e, (12)\}$? Отправить решение


Задача 15. Докажите, что для любого $a\in G$ и любого гомоморфизма $f\colon G\to H$ выполнено равенство $a\operatorname{Ker} f = (\operatorname{Ker} f)a$. Отправить решение


Задача 16. 1) Докажите, что школьное правило "$чётное+чётное=нечётное+нечётное=чётное$", "$чётное+нечётное=нечётное+чётное=нечётное$" задаёт структуру группы на множестве $\{\,\{\,2n\mid n\in \mathbb Z\,\}, \{\,2n+1\mid n\in \mathbb Z\,\}\,\}$. 2) Докажите, что аналогичное правило задаёт структуру группы на множестве $\{\,A_n, {S_n\setminus A_n}\,\}$. Отправить решение


∆ Определение 3. Напомним, что левым смежным классом элемента $g$ группы $G$ относительно подгруппы $H$ называется множество $gH$. Множество всех левых смежных классов обозначают $G/H$. Множество правых смежных классов группы $G$ относительно подгруппы $H$ (множеств вида $Hg$) обозначают $H \backslash G$. (Не следует путать фактор с разностью множеств.)


Задача 17. Для каждой из следующих пар $H$ и $G$ опишите правые и левые смежные классы группы $G$ по $H$. 1) $H=2\mathbb Z$, $G=\mathbb Z$; 2) $H=A_3$, $G=S_3$; 3) $H=\{\sigma\in S_3\mid \sigma (1)=1\}$, $G=S_3$; 4) $H=\{e, (12)\}$, $G=S_3$; 5) $H=\{0, 2\}$, $G=\mathbb Z_4$. Отправить решение


∆ Определение 4. Подгруппа $H$ группы $G$ называется нормальной, если для любого элемента $a\in G$ выполнено $aH=Ha$ (или $aHa^{-1}=H$). Обозначение: $H \triangleleft G$.


Задача 18. Какие подгруппы из задачи 17 нормальны? Отправить решение


Задача 19. Докажите, что подгруппа $H$ группы $G$ нормальна тогда и только тогда, когда разбиение группы $G$ на левые смежные классы относительно группы $H$ совпадает с разбиением на правые смежные классы. Отправить решение


Задача 20. Докажите, что любая подгруппа коммутативной группы нормальна. Отправить решение


Задача 21. Перечислите все нормальные подгруппы группы $S_3$. Отправить решение


Задача 22. Докажите, что любая подгруппа $H$ группы $G$, для которой $2|H|=|G|$, нормальна. Отправить решение


Задача 23. Назовём произведением левых смежных классов $aH$ и $bH$ класс $(ab)H$. 1) Докажите, что это определение корректно тогда и только тогда, когда подгруппа $H$ нормальна. 2) Докажите, что в этом случае множество левых смежных классов образует группу относительно введённой операции. Отправить решение


∆ Определение 5. Пусть $H$ — нормальная подгруппа группы $G$. Группа, построенная в предыдущей задаче, называется фактор-группой. Обозначение: $G/H$.


Задача 24. Докажите, что для любого гомоморфизма $f\colon G\to H$ выполнено $\operatorname{Im} f\cong G/\operatorname{Ker} f$. (в частности, $\operatorname{Ker} f$ — нормальная подгруппа $G$) По-другому: Гомоморфный образ группы, Каноническим морфизмом, Изоморфен фактор-группе, По ядру гомоморфизма. Отправить решение


∆ Определение 6. Гомоморфизм $f$ группы $G$ в группу преобразований множества $A$ (т. е. биективных отображений множества $A$ в себя) называется действием группы $G$ на этом множестве. (Таким образом $f$ ставит в соответствие каждому элементу $g$ группы $G$ некоторую биекцию множества $A$ в себя.) Если понятно, о каком действии идёт речь, элемент $f(g)(a)$ обозначается $ga$.


Задача 25. Задаёт ли правило $na=a^n$ действие группы $\mathbb Z$ на произвольной группе $G$? Отправить решение


Задача 26. Какие из следующих отображений являются действиями группы на себе? 1) $f(g)(x)=gx$ (левый сдвиг);   2) $f(g)(x)=g^{-1}x$ 3) $f(g)(x)=xg$ (правый сдвиг); 4) $f(g)(x)=xg^{-1}$; 5) $f(g)(x)=gxg^{-1}$ (действие сопряжениями). Отправить решение


Задача 27. (теорема Кэли) Докажите, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы $S_n$. Отправить решение


Задача 28. Перечислите все действия 1) группы $\mathbb Z$ на множестве из двух элементов (одного элемента); 2) группы $\mathbb Z_n$ на множестве из двух элементов (одного элемента); 3) группы $\mathbb Z_n$ на множестве из трёх элементов; 4) группы $\mathbb Z_2$ на группе $\mathbb Z$ (на группе $\mathbb Z_4$) такие, что каждое преобразование $f(g)$ является изоморфизмом; 5) группы $\mathbb Z_n$ на множестве вершин квадрата такие, что каждое преобразование $f(g)$ является поворотом. Отправить решение


∆ Определение 7. Множество $Ga=\{ga\mid g\in G\}$ называется орбитой точки $a\in A$.


∆ Определение 8. Орбиты действия сопряжениями называются классами сопряжённых элементов.


Задача 29. Докажите, что отношение "точка $a$ принадлежит орбите точки $b$" является отношением эквивалентности. Отправить решение


Задача 30. 1) Опишите орбиты для действий из задачи 28 2) Опишите орбиты действия левыми сдвигами; 3) Найдите классы сопряжённых элементов в $S_3$ и $A_3$; 4) Найдите классы сопряжённых элементов в $S_n$ и $A_n$. Отправить решение


∆ Определение 9. Множество $\operatorname{stab} a=\{g\in G\mid ga=a\}$ называется стабилизатором точки $a\in A$.


Задача 31. Укажите стабилизаторы для действий из предыдущих задач. Отправить решение


Задача 32. Докажите, что $|\operatorname{stab} x|\cdot |Gx|=|G|$. Отправить решение


Задача 33. Докажите, что в группе из $p^2$ элементов найдётся хотя бы два класса сопряжённых элементов из одного элемента. Отправить решение


∆ Определение 10. Множество $\operatorname{Fix} g=\{a\in A\mid ga=a\}$ называется множеством неподвижных точек элемента $g$ (вообще говоря, это множество зависит от действия, но когда ясно, о каком действии идёт речь, наименование действия не указывается).


Задача 34. Укажите множества неподвижных точек всех элементов для действий группы $Z_4$ 1) левыми сдвигами; 2) сопряжениями; 3) придуманного Вами действия. Отправить решение


Задача 35. Укажите множества неподвижных точек всех элементов для действий группы $S_3$ 1) левыми сдвигами;  2) сопряжениями. Отправить решение


Задача 36. (Лемма Бернсайда) Группа $|G|$ действует на множестве $A$. Докажите, что число орбит этого действия равно \begin{equation*} \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |\operatorname{Fix} g|. \end{equation*} Отправить решение


Задача 37. Найдите число способов раскрасить $n$-местную карусель в красный и синий цвета. Отправить решение


Задача 38. Найдите число способов раскрасить ожерелье из $n$ бусинок в красный и синий цвета. Отправить решение